HienHau: MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH HAI PHÂN SỐ

Chào các em! Trong bài học trước chúng ta đã biết về kiến thức chung để so sánh hai phân số. Tuy nhiên, kiến thức về so sánh hai phân số là tương đối nhiều, nên hôm nay, chúng ta lại tiếp tục tìm hiểu thêm về vấn đề này.

Để có thể hiểu dõ về bài học này, chúng ta nên học trước các bài học cơ bản của phần phân số.

Nhắc lại kiến thức chung về so sánh hai phân số.

Nếu hai phân số cùng mẫu số thì phân số nào có tử số lớn hơn sẽ lớn hơn, tức là:

Nếu a > b thì $\large \frac{a}{m} > \frac{b}{m}$

Nếu a < b thì $\large \frac{a}{m} < \frac{b}{m}$ (với m khác 0)

Ví dụ: $\large \frac{7}{6} > \frac{5}{6}$ ; $\large \frac{11}{9} < \frac{13}{9}$

Nếu hai phân số cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn sẽ bé hơn, tức là:

Nếu a > b thì $\large \frac{m}{a} < \frac{m}{b}$

Nếu a < b thì $\large \frac{m}{a} > \frac{m}{b}$ (với a, b khác 0)

Ví dụ: $\large \frac{6}{7} < \frac{6}{5}$ ; $\large \frac{9}{11} > \frac{11}{13}$

Nếu hai phân số không cùng mẫu số và tử số thì ta có thể quy đồng mẫu số (hoặc tử số) của hai phân đó số rồi so sánh tử số (hoặc mẫu số) như trong các trường hợp trên.

Ví dụ: So sánh $\large \frac{7}{9}$ và $\large \frac{5}{6}$

Cách 1: Quy đồng mẫu số.

MSCNN của 9 và 6 là 18.

$\large \frac{7}{9}= \frac{7\times 2}{9\times 2} = \frac{14}{18}$

$\large \frac{5}{6}= \frac{5\times 3}{6\times 3} = \frac{15}{18}$

Vì $\large \frac{14}{18} < \frac{15}{18}$ nên $\large \frac{7}{9} < \frac{5}{6}$

Cách 2: Quy đồng tử số

TSCNN của 7 và 5 là 35.

$\large \frac{7}{9}= \frac{7\times 5}{9\times 5} = \frac{35}{45}$

$\large \frac{5}{6}= \frac{5\times 7}{6\times 7} = \frac{35}{45}$

Vì $\large \frac{35}{45} < \frac{35}{42}$ nên $\large \frac{7}{9} < \frac{5}{6}$

Một vài phương pháp so sánh hai phân số và dấu hiệu để áp dụng.

Cho hai phân số bất kỳ $\large \frac{a}{b}$ và $\large \frac{c}{d}$ (b, d khác 0)

Ta hoàn toàn có thể chọn mẫu số chung của hai phân số là b$\large \times$d và quy đồng mẫu số của hai phân số đó như sau.

$\large \frac{a}{b}= \frac{a\times d}{b\times d}$ và $\large \frac{c}{d}= \frac{c\times b}{d\times b}$

Do đó, ta có thể so sánh hai tích a$\large \times$d và c$\large \times$b để biết phân số nào lớn hơn.

Cụ thể: Nếu a$\large \times$d > c$\large \times$b thì $\large \frac{a}{b}> \frac{c}{d}$

Nếu a$\large \times$d < c$\large \times$b thì $\large \frac{a}{b}< \frac{c}{d}$

Ví dụ: So sánh $\large \frac{7}{8}$ và $\large \frac{8}{9}$

Ta có: 7$\large \times$9 = 63 < 8$\large \times$8 = 64 nên $\large \frac{7}{8}$ < $\large \frac{8}{9}$

Chú ý: Phương pháp này có thể áp dụng để so sánh hai phân số có tử số và mẫu số là các số có giá trị bé. Nếu gặp các phân số có tử số và mẫu số là các số có giá trị lớn thì quá trình tính hai tích a$\large \times$d và c$\large \times$b sẽ rất vất vã. Ta có thể cải tiến phương pháp này như sau.

Như ta đã biết, phân số là một phép chia ($\large \frac{a}{b} = a : b$) do đó ta có:

Nếu a > b thì a : b > 1 hay $\large \frac{a}{b} > 1$ và ngược lại.

Nếu a < b thì a : b < 1 hay $\large \frac{a}{b} < 1$ và ngược lại.

Mặt khác ta có: $\large \frac{a}{b}: \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a\times d}{b\times c}$

Kết hợp các điều này ta có thể làm lại ví dụ trên như sau.

Ví dụ: So sánh $\large \frac{7}{8}$ và $\large \frac{8}{9}$.

Ta có: $\large \frac{7}{8}: \frac{8}{9} = \frac{7\times 9}{8\times 8}= \frac{63}{64} < 1$ suy ra $\large \frac{7}{8}< \frac{8}{9}$.

Ta xét một ví dụ khác sau đây:

So sánh $\large \frac{13}{14}$ và $\large \frac{133}{144}$

Ta có: $\large \frac{13}{14}: \frac{133}{144} = \frac{13\times 144}{14\times 133}= \frac{13\times (140+4)}{14\times (130+3)}= \frac{13\times 140+13\times 4}{14\times 130+14\times 3}$ (*)

(Ở trên ta đã tách số 144 thành 140 + 4, 133 thành 130 + 3 và áp dụng luật phân phối giữa phép nhân và phép cộng ở cả tử số và mẫu số)

Trong biểu thức (*) vì 13$\large \times $140 = 14$\large \times $130 nên ta sẽ so sánh 13$\large \times $4 = 14$\large \times $3 là được.

Ta có: 13$\large \times $4 = 52 > 14$\large \times $3 = 42

Do đó $\large \frac{13\times 140+13\times 4}{14\times 130+14\times 3}>1$

Suy ra $\large \frac{13}{14}> \frac{133}{144}$

Như vậy, nếu ta khéo léo tách các số hạng ra thì ta sẽ giảm tải được việc nhân các số cồng kềnh.

Ví dụ khác: So sánh $\large \frac{19}{37}$ và $\large \frac{1907}{3705}$

Ta có:

$\large \frac{19}{37}: \frac{1907}{3705} = \frac{19\times 3705}{37\times 1907}= \frac{19\times (3700+5)}{37\times (1900+7)}$

= $\large \frac{19\times 3700+19\times 5}{37\times 1900+37\times 7}= \frac{19\times 3700+95}{37\times 1900+209}<1$

Suy ra $\large \frac{19}{37} < \frac{1907}{3705}$

Chú ý: Dấu hiệu nhận biết để áp dụng phương pháp này là ta có thể tách cả tử và mẫu của các phân số đã cho thành nhiều tích mà một số tích lớn ở tử số sẽ bằng tích lớn ở mẫu số.

Ví dụ: So sánh $\large \frac{19}{37}$ và $\large \frac{19197}{37375}$

Ta có:

$\large \frac{19}{37}: \frac{19197}{37375} = \frac{19\times 37375}{37\times 1907}= \frac{19\times (37000+370+5)}{37\times (19000+190+7)}$

= $\large \frac{19\times 37000+19\times 370+19\times 5}{37\times 19000+37\times 190+37\times 7}$

Cả tử số và mẫu số đều có các tích lớn bằng nhau là19$\large \times$37000 = 37$\large \times$19000 và 19$\large \times$370 = 37$\large \times$190 nên ta chỉ cần so sánh 19$\large \times$5 = 95 < 37$\large \times$7 = 259

Suy ra: $\large \frac{19\times 37000+19\times 370+19\times 5}{37\times 19000+37\times 190+37\times 7}$ < 1 và như vậy $\large \frac{19}{37}< \frac{19197}{37375}$

Áp dụng so sánh các phân số sau:

$\large \frac{29}{35}$ và $\large \frac{299}{355}$

$\large \frac{37379}{45459}$ và $\large \frac{37}{45}$

$\large \frac{17175}{15158}$ và $\large \frac{17}{15}$

Theo quy tắc cộng và trừ hai phân số cùng mẫu ta có:

$\large \frac{a}{m}+\frac{b}{m}= \frac{a+b}{m}$

$\large \frac{a}{m}-\frac{b}{m}= \frac{a-b}{m}$

Chú ý là ta hoàn toàn có thể làm ngược lại, tức là:

$\large \frac{a+b}{m}= \frac{a}{m}+ \frac{b}{m}$

$\large \frac{a-b}{m}= \frac{a}{m}- \frac{b}{m}$

Áp dụng điều này ta có thể so sánh một vài phân số như sau:

Ví dụ: So sánh $\large \frac{2024}{2023}$ và $\large \frac{2025}{2024}$

Ta có: $\large \frac{2024}{2023}= \frac{2023+1}{2023}= \frac{2023}{2023}+ \frac{1}{2023}= 1+ \frac{1}{2023}$

$\large \frac{2025}{2024}= \frac{2024+1}{2024}= \frac{2024}{2024}+ \frac{1}{2024}= 1+ \frac{1}{2024}$

Do $\large \frac{1}{2023} > \frac{1}{2024}$ nên $\large 1+\frac{1}{2023} > 1+ \frac{1}{2024}$

(cùng một số khi cộng với số lớn hơn sẽ cho kết quả lớn hơn)

Suy ra $\large \frac{2024}{2023} > \frac{2025}{2024}$

Ví dụ khác:

So sánh $\large \frac{1990}{1995}$ và $\large \frac{2020}{2025}$

Ta có: $\large \frac{1990}{1995}= \frac{1995-5}{1995}= \frac{1995}{1995}- \frac{5}{1995}= 1 - \frac{5}{1995}$

$\large \frac{2020}{2025}= \frac{2025-5}{2025}= \frac{2025}{2025}- \frac{5}{2025}= 1 - \frac{5}{2025}$

Do $\large \frac{5}{1995}> \frac{5}{2025}$ nên $\large 1- \frac{5}{1995} < 1- \frac{5}{2025}$

(cùng một số khi trừ đi số lớn hơn sẽ cho kết quả bé hơn)

Suy ra $\large \frac{1990}{1995}< \frac{2020}{2025}$

Ví dụ khác: So sánh $\large \frac{2123}{222}$ và $\large \frac{2354}{323}$

Ta có: $\large \frac{2123}{222}= \frac{222\times 9+125}{222}= 9+ \frac{125}{222}$

$\large \frac{2354}{323}= \frac{323\times 7+93}{323}= 7+ \frac{93}{323}$

Do 9 > 7 nên $\large 9+\frac{125}{222} > 7+ \frac{93}{323}$

(phần nguyên của phân số nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn)

Suy ra $\large \frac{2123}{222}$ > $\large \frac{2354}{323}$

Chú ý: Dấu hiệu nhận biết để áp dụng phương pháp so sánh này là hiệu của tử số và mẫu số ở các phân số là bằng nhau hoặc phần nguyên của các phân số là khác nhau.

Áp dụng so sánh các phân số sau:

$\large \frac{2009}{2010}$ và $\large \frac{2010}{2011}$

$\large \frac{1995}{1990}$ và $\large \frac{2010}{2005}$

$\large \frac{1567}{312}$ và $\large \frac{2557}{426}$

Trong toán học, chúng ta có tính chất bắc cầu sau đây.

Nếu A < B và B < C thì A < C

Nếu A > B và B > C thì A > C

Ta sẽ áp dụng tính chất này để so sánh các phân số.

Ví dụ: So sánh $\large \frac{223}{2024}$ và $\large \frac{222}{2025}$

Ta có: $\large \frac{223}{2024}$ > $\large \frac{222}{2024}$ (do tử số lớn hơn)

$\large \frac{222}{2024}$ > $\large \frac{222}{2025}$ (do mẫu số bé hơn)

Suy ra $\large \frac{223}{2024}$ > $\large \frac{222}{2025}$ (tính chất bắc cầu)

Trong thực hành ta sẽ làm đơn giản hơn như sau.

Ví dụ: So sánh $\large \frac{389}{535}$ và $\large \frac{390}{534}$

Ta có: $\large \frac{389}{535}$ < $\large \frac{389}{534}$ < $\large \frac{390}{534}$

Chú ý: Dấu hiệu nhân biết để áp dụng phương pháp bắc cầu là tử số của phân số thứ nhất lớn hơn (bé hơn) tử số của phân số thứ 2 thì mẫu số của phân số thứ nhất bé hơn (lớn hơn) mẫu số của phân số thứ 2.

Áp dụng so sánh các phân số sau:

$\large \frac{2024}{2023}$ và $\large \frac{2025}{2022}$

$\large \frac{1995}{1992}$ và $\large \frac{1996}{1991}$

$\large \frac{1567}{2568}$ và $\large \frac{1566}{2569}$

Trên đây là một vài phương pháp cơ bản để so sánh hai phân số và ta có thể dễ dàng nhận ra và áp dụng với một số bài tập. Tuy nhiên không phải lúc nào các bài tập cũng dễ dàng nhận ra cách giải như vậy. Sau đây là một số các ví dụ và cách giải đặc biệt khác.

Ví dụ: So sánh các biểu thức sau.

a) $\large \frac{112}{234}+ \frac{113}{235}$ và $\large \frac{225}{236}$

b) $\large \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{7}+ \frac{1}{8}$ và 1

c) $\large \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{7}+ \frac{1}{8}$ và 2

Bài làm:

a) Ta có: $\large \frac{112}{234}> \frac{112}{236}$ và $\large \frac{113}{235}> \frac{113}{236}$

Do đó: $\large \frac{112}{234}+ \frac{113}{235}$ > $\large \frac{112}{236}+ \frac{113}{236}$

b) Ta có:

$\large \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}> \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}= \frac{3}{4}$

$\large \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{7}+ \frac{1}{8}> \frac{1}{8}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{8}= \frac{4}{8}$ _________________________________________

$\large \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{7}+ \frac{1}{8}> \frac{3}{4}+ \frac{4}{8}= \frac{5}{4}>1$

(cộng từng vế của các biểu thức)

c) Ta có:

$\large \frac{1}{2}= \frac{1}{2}$

$\large \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}< \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}= \frac{3}{3}= 1$

$\large \frac{1}{6}+ \frac{1}{7}+ \frac{1}{8}< \frac{1}{6}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{6}= \frac{3}{6}= \frac{1}{2}$ _________________________________________

$\large \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{7}+ \frac{1}{8}< \frac{1}{2}+1+ \frac{1}{2}=2$

(cộng từng vế của các biểu thức)

Ví dụ: So sánh các phân số sau

a) $\large \frac{212121}{222222}$ và $\large \frac{222222222}{223223223}$

b) $\large \frac{373737}{383838}$ và $\large \frac{378378378}{389389389}$

Bài làm:

a) Ta có: $\large \frac{212121}{222222}= \frac{21\times 10101}{22\times 10101}= \frac{21}{22} $

$\large \frac{222222222}{223223223}= \frac{222\times 1001001}{223\times 1001001}= \frac{222}{223} $

So sánh $\large \frac{21}{22}$ và $\large \frac{222}{223}$ (để ý 22 – 21 = 223 – 222)

Ta có: $\large \frac{21}{22}= \frac{22-1}{22}=1- \frac{1}{22}$

$\large \frac{222}{223}= \frac{223-1}{223}=1- \frac{1}{223}$

Vì $\large 1- \frac{1}{22}< 1- \frac{1}{222}$ nên $\large \frac{21}{22}< \frac{222}{223}$

Vậy $\large \frac{212121}{222222}< \frac{222222222}{223223223}$

b) Làm tương tự, ta có:

$\large \frac{373737}{383838}= \frac{37}{38}$ và $\large \frac{378378378}{389389389}= \frac{378}{389}$

So sánh $\large \frac{37}{38}$ và $\large \frac{378}{389}$ (để ý tách 378 = 370 + 8 và 389 = 380 + 9)

Ta có:

$\large \frac{37}{38}: \frac{378}{389}= \frac{37\times 389}{38\times 378}= \frac{37\times (380+9)}{38\times (370+8)}$

= $large \frac{37\times 380 + 37\times 9}{38\times 370 +38\times 8}= \frac{37\times 380+333}{38\times 370+304}>1$

Suy ra: $\large \frac{37}{38}> \frac{378}{389}$ Hay $\large \frac{373737}{383838}> \frac{378378378}{389389389}$

Ví dụ: Cho

$\large A= \frac{1\times 3\times 5+2\times 6\times 10+4\times 12\times 20+7\times 21\times 35}{1\times 5\times 7+2\times 10\times 14+4\times 20\times 28+7\times 35\times 49}$

$\large B = \frac{308}{708}$

Hãy so sánh A và B

Bài làm: Trước hết ta cần biến đổi để thu gọn biểu thức của A. Áp dụng tính chất phân phối giữa phép cộng và phép nhân ta có thể làm như sau.

Tử số của A

= $\large 1\times 3\times 5+2\times 6\times 10+4\times 12\times 20+7\times 21\times 35$

= $\large (1\times 3\times 5)+(2\times 1\times 2\times 3\times 2\times 5)$ +

$\large (4\times 1\times 4\times 3\times 4\times 5)+(7\times 1\times 7\times 3\times 7\times 5)$

= $\large (1\times 3\times 5)(1+2\times 2\times 2\times+ 4\times 4\times 4+ 7\times 7\times 7\times)$

Tương tự, mẫu số của A

= $\large (1\times 5\times 7)(1+2\times 2\times 2\times+ 4\times 4\times 4+ 7\times 7\times 7\times)$

Do vậy

A = $\large \frac{(1\times 3\times 5)(1+2\times 2\times 2\times+ 4\times 4\times 4+7\times 7\times 7\times)}{(1\times 5\times 7)(1+2\times 2\times 2\times+ 4\times 4\times 4+7\times 7\times 7\times)}= \frac{3}{7}$

So sánh $\large \frac{3}{7}$ và $\large \frac{308}{708}$

Ta có: $\large \frac{3}{7}: \frac{308}{708}= \frac{3\times 708}{7\times 308}= \frac{3\times (700+8)}{7\times (300+8)}$

= $\large \frac{3\times 700+3\times 8}{7\times 300+7\times 8}<1$

suy ra $\large \frac{3}{7}< \frac{308}{708}$ hay A < B

Các em thân mến! kiến thức toán học là vô bờ bến, Chỉ với kiến thức về so sánh hai phân số ta cũng đã không thể tóm hết trong một bài viết được. Còn rất nhiều các phương pháp so sánh hai phân số khác nữa. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em phần nào đó cách nhìn về mãng kiến thức này và cũng hy vọng rằng bài viết đã ngây hứng thu cho các em có mong muốn tìm ra thêm nhiều cách so sánh hai phân số khác nữa. Chúc các em vận dụng tốt các phương pháp đã biết ở trên và sáng tạo thêm được nhiều phương pháp khác!

Khương Hậu

Download bài giảng: Tại đây

Download bài tập: Tại đây

-----------------------------------------------------

BÀI VIẾT CÙNG CHUYÊN MỤC

Khái niệm về phân số

Tính chất cơ bản của phân số

So sánh hai phân số (cơ bản)

So sánh hai phân số (nâng cao)

Các phép toán với phân số (cơ bản)

Hỗn số

Phân số thập phân